FUNCIÓN CUADRÁTICA

Objetivo principal

Identificar las características de la función cuadrática y su representación gráfica.

1. La función cuadrática 

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas; son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. 

Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño.

1.1 Definición de la función cuadrática

Una función de la forma f(x) = a∙x² + b∙x + c; con a, b, c Є R y a≠0 recibe el nombre de función cuadrática o función de segundo grado.

Una función cuadrática se expresa de distintas formas:

 y = a∙(x - h)² + k   o   y = a∙ (x – d)∙(x - e)

y reconoce el significado de los parámetros a, b, c, d, e, h y k, y su simetría en la gráfica.

Expresiones como:

 f(x) = x²                ;      y = (-⅛)∙x² + ½

   f(x)  =-3∙x² + 6∙x    ;      y = 2∙x² + 3∙x – 2

Gráficamente se representa una curva llamada parábola.

 f(x) = a∙x² + b∙x + c; si a>0

 f(x) = a∙x² + b∙x + c; si a<0

En toda parábola se distinguen los siguientes elementos:

Abertura: Esta determinada por el signo del coeficiente de x²; si:

                  a > o   la parábola abre hacia arriba.

                  a < o   la parábola abre hacia abajo.

Vértice:   Es el punto v(h,k) donde h= -b/2·a y k= f(-b/2·a) Si la parábola abre hacia arriba, el vértice es el valor mínimo. Si la parábola abre hacia abajo, el vértice es el valor máximo

Eje de simetría: Es la recta que pasa por el vértice y es paralela al eje y recibe este nombre pues al doblar el plano por esta recta los dos brazos de la parábola coinciden en todos sus puntos.

Y - intersecto:   Es el punto (o, c); dicho valor se halla al remplazar x por 0 en la expresión  

 f(x) = a∙x²+b∙x+c

X – intersectos:  Son los puntos de corte de la gráfica con el eje x y se hallan al sustituir f(x) por 0 en la expresión:

   f(x) = a∙x²+b∙x+c  

El dominio de la función f(x) = a∙x²+b∙x+c es el conjunto   R “Reales”

El rango es el intervalo [k,∞) si la parábola abre hacia arriba.

El rango es el intervalo (-∞,k] si la parábola abre hacia abajo.

Ejercicio

Responda las preguntas 1 a 4 de  acuerdo  con  la  siguiente información.

Un  proyectil que es disparado por un cañón describe una trayectoria parabólica.

La ecuación de dicha trayectoria está dada por:

 y(x)= -x²+10x+2

Donde x y y se miden en metros y x representa la distancia horizontal entre la bala y el cañón. 

1. Cuando se dispara la bala, ésta se encuentra a una altura de:

A.1 metro        C. 5 metros

B. 2 metros        D. 7 metros

2. La máxima altura que puede alcanzar la bala es:

A. 27 metros        C.. 33 metros

B. 30 metros        D. 36 metros

3. Cuando la bala alcance una altura de 23 metros cayendo, la distancia horizontal entre la bala y el cañón será:

A. 3 metros         C. 7 metros

B. 5 metros         D. 9 metros

4. Cuando la bala toque el piso es posible afirmar que la distancia entre ella y el cañón:

A. Estará entre   9 metros  y  10 metros

B. Estará entre 10 metros  y  11 metros

C. Estará entre 11 metros  y  12 metros

D. Estará entre 12 metros  y  13 metros

PARA REFLEXIONAR...