LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
  
  
• El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
  
  
• La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
  
  

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Razones trigonométricas del ángulo complementario

• Seno del ángulo complementario:
  
  
• Coseno del ángulo complementario:
  
  
• Tangente del ángulo complementario:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo suplementario

• Seno del ángulo suplementario:
  
  
• Coseno del ángulo suplementario:
  
  
• Tangente del ángulo suplementario:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo conjugado

• Seno del ángulo conjugado:
  
  
• Coseno del ángulo conjugado:
  
  
• Tangente del ángulo conjugado:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo opuesto

• Seno del ángulo opuesto:
  
  
• Coseno del ángulo opuesto:
  
  
• Tangente del ángulo opuesto:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo que difiere 90º

• Seno del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Coseno del ángulo que difiere 90º:
  
  
• Tangente del ángulo que difiere 90º:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo que difiere 180º

• Seno del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Coseno del ángulo que difiere 180º:
  
  
• Tangente del ángulo que difiere 180º:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo suma

• Seno del ángulo suma:
  
  
• Coseno del ángulo suma:
  
  
• Tangente del ángulo suma:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo resta

• Seno del ángulo resta:
  
  
• Coseno del ángulo resta:
  
  
• Tangente del ángulo resta:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo doble

• Seno del ángulo doble:
  
  
• Coseno del ángulo doble:
  
  
• Tangente del ángulo doble:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo mitad

• Seno del ángulo mitad:
  
  
• Coseno del ángulo mitad:
  
  
• Tangente del ángulo mitad:
  
  

Razones trigonométricas del ángulo triple

• Seno del ángulo triple:
  
  
• Coseno del ángulo triple:
  
  
• Tangente del ángulo triple:
  
  

Razones trigonométricas inversas de α

A partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones inversas.

• Cosecante de α:
  
  
• Secante de α:
  
  
• Cotangente de α:
  
  

APLICACIÓN EN LA VIDA COTIDIANA 

En esta imagen se puede apreciar que las razones trigonométricas son muy importantes en la vida cotidiana, en la parte de la ingeniería civil y la arquitectura son muy importantes, se puede apreciar que se planea construir un punte que con razones trigonométricas planea tenga 47 grados en la parte derecha y 40 grados en la parte izquierda con respecto al eje x. 

También son muy necesarias para saber el angulo de elevación y depresión del que mira una persona a la altura de una torre o edificación

PARA REFLEXIONAR...

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Como lo dice la gráfica anterior, el radical esta conformado por tres partes, en ella encontramos el radicado que es el numero de va en la parte de adentro de la raíz, también tenemos al coeficiente que es el que aparece antes de la raíz haciendo la función de multiplicador, por ultimo tenemos al indice que es el numero que nos indica en cuanto esta elevada nuestra raíz, en algunos libros cuando la raíz no tiene numero significa que es una raíz cuadrada, es decir, que esta elevada a la 2. 

¿Qué es la racionalización de radicales?

En matemáticas, la racionalización de radicales es un proceso en el cual se transforma una expresión, la cual es una fracción con raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en el denominador.

También se le conoce como racionalizar una fracción con raíces en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción.²​ Para ello se multiplica el numerador y el denominador por otra expresión de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Cabe destacar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con índice mayor que dos (por ejemplo, raíz cúbica), cantidad subradical puede ser un monomio, binomio, etc, y que la expresión obtenida equivalente puede o no presentar raíces en el numerador.

Racionalización de un monomio.

ara racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {5}}}}$

hay que multiplicar numerador y denominador por ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {8{\sqrt {5}}}{({\sqrt {5}})^{2}}}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

${\displaystyle {\frac {8{\sqrt {5}}}{({\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {8{\sqrt {5}}}{5}}={\frac {8}{5}}{\sqrt {5}}}$

También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma más fácil.

Se debe tener cuidado al realizar las operaciones entre los radicales, pues si se tiene

${\displaystyle {\frac {8}{\sqrt {x}}}}$

Al racionalizar que se debería dividir por

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}}$

es lo mismo

${\displaystyle {\frac {{8}{\sqrt {x}}}{\sqrt {x^{2}}}}}$ que es correcto

que

${\displaystyle {\frac {{8}{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}$ que no es correcto

Porque estaríamos ganando soluciones, es decir notemos que ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}}$ (que sería el valor absoluto de un número) no es lo mismo que ${\displaystyle {{\sqrt {x}}^{2}}}$ ( que es el cuadrado de una raíz) entonces cuando ${\displaystyle {x}}$ sea un número negativo, la racionalización definiría una nueva solución, que no es correcto.

PARA REFLEXIONAR...